Scopri come la compensazione ai minimi quadrati migliora precisione e affidabilità nel rilievo geodetico e nelle applicazioni cinematiche.
Compensazione ai minimi quadrati: dal rilievo geodetico alle applicazioni cinematiche
La compensazione ai minimi quadrati è una tecnica consolidata nel rilievo geodetico, utilizzata per affinare la precisione delle coordinate dei punti stimati. In un tipico rilievo statico, diversi ricevitori GNSS vengono installati sui punti di interesse, ciascuno dei quali registra dati per alcuni minuti.
Le osservazioni raccolte vengono poi elaborate con metodi come il Precise Point Positioning (PPP) o il Post-Processed Kinematic (PPK) basato sul posizionamento differenziale, che in generale consentono di raggiungere un’accuratezza dell’ordine del centimetro. Tuttavia, molte applicazioni di rilievo richiedono una precisione e una consistenza interna ancora maggiori. È in questo contesto che entra in gioco la compensazione ai minimi quadrati.
Quando vengono rilevati più punti, le loro posizioni relative possono essere derivate tramite posizionamento differenziale, ottenendo così un insieme di vettori che collegano i punti. Se il numero di vettori osservati è superiore al numero delle incognite (le coordinate dei punti), il sistema risulta ridondante. In questa situazione è possibile applicare un’aggiustamento ai minimi quadrati. Sfruttando la ridondanza, l’aggiustamento utilizza sia i vettori stimati che le loro covarianze associate per calcolare la configurazione più probabile della rete. Il risultato consiste non solo in coordinate più precise, ma anche in una stima rigorosa della loro covarianza, migliorando così l’affidabilità del rilievo.
Estensione al posizionamento cinematico
Nel posizionamento cinematico, tuttavia, questo approccio è raramente applicato. Le ragioni sono essenzialmente due. In primo luogo, la necessità di ricostruire una traiettoria a posteriori è relativamente rara: si tratta infatti di un compito tipico della navigazione piuttosto che del rilievo, e viene normalmente eseguito in tempo reale (o quasi). In questo contesto, l’aggiustamento ai minimi quadrati è spesso considerato troppo oneroso dal punto di vista computazionale. In secondo luogo, le applicazioni cinematiche in genere non dispongono di una rete di stazioni che fornisca un insieme ridondante di vettori da ottimizzare. Di conseguenza, mentre la compensazione ai minimi quadrati è lo standard de facto nei rilievi statici — con un ampio supporto software — essa è quasi mai utilizzata per migliorare traiettorie cinematiche.
Applicazione sperimentale presso Gter
Presso Gter stiamo attualmente esplorando questa possibilità nel contesto dei dispositivi indossabili. Nei nostri esperimenti, più ricevitori GNSS vengono montati su diverse parti del corpo umano per valutare le traiettorie in applicazioni legate alle prestazioni sportive e alla scienza della salute. Questo scenario risulta particolarmente complesso a causa della rapida variabilità della dinamica del corpo umano, degli impatti con il suolo e delle continue variazioni di velocità e orientamento dei ricevitori.
Il nostro metodo di elaborazione di base si basa sul PPK rispetto a una stazione di riferimento fissa. Tuttavia, avendo a disposizione più ricevitori sincronizzati, calcoliamo anche la posizione di ciascun dispositivo rispetto agli altri tramite la tecnica del moving-base (MB) positioning. In questo modo si ottiene una rete di vettori inter-receiver che può essere compensata passo dopo passo.
Compensazione ai minimi quadrati: risultati sperimentali
Abbiamo implementato questo approccio in post-elaborazione, combinando le soluzioni PPK e MB. L’algoritmo è stato progettato con attenzione: alcune epoche risultano mancanti nei diversi vettori, e ciascun collegamento deve essere pesato in funzione della propria covarianza. Una volta implementato, il risultato (presentato in fig. 1) è una traiettoria che rappresenta di fatto una combinazione pesata di tutte le stime disponibili.
Questi primi risultati dimostrano che la compensazione ai minimi quadrati, tradizionalmente limitata al rilievo statico, può essere adattata anche al miglioramento delle traiettorie di ricevitori in movimento. Ciò apre prospettive interessanti per l’analisi del moto basata su GNSS in ambienti altamente dinamici.
Un ulteriore esempio di miglioramento nella ricostruzione delle traiettorie dei piedi durante il cammino è presentato in fig. 2. Nel grafico a sinistra sono riportate le traiettorie ottenute con il PPK: si osserva che una di esse (in arancione) è composta interamente da soluzioni float e che la distanza tra i piedi risulta di circa un metro, un valore evidentemente errato. Nel secondo grafico, invece, dopo la compensazione con aiuto di vettori ottenuti con MB, i piedi appaiono più vicini, come è corretto che sia. Si notano inoltre tre punti anomali (evidenziati dal cerchio rosso). Questi punti, nella soluzione PPK originale, erano stati etichettati come fixed, cioè come se fossero soluzioni ad alta affidabilità. In realtà, però, si trattava di osservazioni errate. Poiché lo stato fixed viene considerato molto preciso e gli si assegna un’incertezza molto bassa, durante il processo di compensazione ai minimi quadrati quei punti hanno assunto un peso eccessivo. Questo ha portato a “tirare” in maniera innaturale la traiettoria verso di loro, causando una deviazione locale non realistica.
Confronto tra traiettorie prima (sinistra) e dopo la compensazione ai minimi quadrati (destra), con evidenza di errori corretti e punti anomali (cerchio rosso).
(Fonte: Gter)
